基本介紹

《緝古算經(jīng)》，中國古代數(shù)學(xué)著作之一，王孝通撰。他是唐代初期數(shù)學(xué)家。根據(jù)《舊唐書》、《新唐書》以及《唐會要》的記載，王孝通出身于平民，唐高祖武德年間（公元623年前后）擔(dān)任算學(xué)博士，奉命與吏部郎中祖孝孫?？备等殊x制訂的《戊寅歷》，提出異議30余條，被提升為太史丞。王孝通把畢生的精力都用在數(shù)學(xué)的研究方面。稱得上是這一時期最偉大的數(shù)學(xué)家。他的最大貢獻(xiàn)是在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上，寫作了《緝古算術(shù)》。王孝通撰《緝古算經(jīng)》唐武德八年（625）五月，王孝通撰《緝古算經(jīng)》在長安成書，這是中國現(xiàn)存最早解三次方程的著作。

簡介

第一題為推求月球赤緯度數(shù)，屬于天文歷法方面的計算問題，第二題至十四題是修造觀象臺、修筑堤壩、開挖溝渠，以及建造倉廩和地窖等土木工程和水利工程的施工計算問題，第十五至二十題是勾股問題。這些問題反映了當(dāng)時開鑿運河、修筑長城和大規(guī)模城市建設(shè)等土木和水利工程施工計算的實際需要。

王孝通在《上緝古算經(jīng)表》中說：伏尋《九章》商功篇有平地役功受袤之術(shù)。至于上寬下狹，前高后卑，正經(jīng)之內(nèi)闕而不論。致使今代之人不達(dá)深理，就平正之間同欹邪之用。斯乃圓孔方枘，如何可安。臣晝思夜想，臨書浩嘆，恐一旦瞑目，將來莫睹。遂于平地之余，續(xù)狹邪之法，凡二十術(shù)，名曰《緝古》這段話清楚地說明了他寫作本書的目的和研究成果。

《緝古算經(jīng)》涉及到立體體積計算、勾股計算、建立和求解三次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A，非負(fù)），建立和求解雙二次方程x4+ax2=A（a、A，為正，這是一種特殊形式的四次方程）等數(shù)學(xué)內(nèi)容。這類問題與解法大多相當(dāng)復(fù)雜，就當(dāng)時數(shù)學(xué)水平而言是相當(dāng)困難的，因此，在國子監(jiān)算學(xué)館要學(xué)習(xí)三年，學(xué)習(xí)年限僅次于祖氏父子的《綴術(shù)》。

例如該書第三題，假如從甲、乙、丙、丁四縣征派民工修筑河堤，這段河堤的橫截面是等腰梯形，已知兩端上下底之差，兩端高度差，一端上底與高度差，一端高度與堤長之差，且已知各縣出工人數(shù)，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距離、負(fù)重運輸效率和筑堤土方量，以及完工時間等，求每人每日可完成的土方量，整段河堤的土方量（即河堤體積）和這段河堤的長度、兩端高度、兩端上下底寬度，以及各縣完成的堤段長度等。前兩個問題是比較簡單的算術(shù)問題，后兩個問題則要經(jīng)過較復(fù)雜的推導(dǎo)和幾何變換歸結(jié)為建立和求解形如x3+ax2+bx=A的三次方程。

在《緝古算經(jīng)》第十五題至二十題等屬于勾股算術(shù)的問題中，王孝通還創(chuàng)造性地把勾股問題引向三次方程，并與代數(shù)方法結(jié)合起來，擴(kuò)大了勾股算術(shù)的范圍，發(fā)展了勾股問題的解題方法。

發(fā)展歷史

在中國數(shù)學(xué)史上，《緝古算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早介紹開帶從立方法的算書，它集中體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家早在公元七世紀(jì)在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就。在西方，雖然很早就已知道三次方程，但最初解三次方程是利用圓錐曲線的圖解法，一直到十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家菲波那契才有了三次方程的數(shù)值解法，這比王孝通晚了六百多年。王孝通對自己的研究成果十分得意。他在《上緝古算經(jīng)表》中批評時人稱之精妙的《綴術(shù)》曾不覺方邑進(jìn)行之術(shù)全錯不通，芻甍方亭之問于理未盡"，由于《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，王孝通的說法是否正確，已無從查考，但想來恐有失偏頗。他還宣稱，"請訪能算之人考論得失，如有排其一字，臣欲謝以千金，這又未免有些過于自信。以后，宋元數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了天元術(shù)、四元術(shù)和高次方程數(shù)值解法等，取得了更加輝煌的成就。

試題

假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？（推朔夜半月度，舊術(shù)要須加時日度。自古先儒雖復(fù)修撰改制，意見甚眾，并未得算妙，有理不盡，考校尤難。臣每日夜思量，常以此理屈滯，恐后代無人知者。今奉敕造歷，因即改制，為此新術(shù)。舊推日度之術(shù)，巳得朔夜半日度，仍須更求加時日度，然知月處。臣今作新術(shù)，但得朔夜半日度，不須加時日度，即知月處。此新術(shù)比于舊術(shù)，一年之中十二倍省功，使學(xué)者易知）

答曰：在斗四度七百分度之五百三十。

內(nèi)容介紹

《緝古算經(jīng)》全書共二十問，書首為《上緝古算術(shù)表》。各問題的形式大致相同，每問以“假令”開頭，以“問：……各幾何？”或“問：……個多少？”結(jié)尾；隨后是答案：“答曰……”；最后一段是“術(shù)曰”，詳細(xì)敘述建立方程的理論依據(jù)和具體程序。每題都有答案，但關(guān)于解題方法，王孝通則言簡意賅。

第一問

“假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？”。這是一道天文題，求半夜時月亮的赤道經(jīng)度，王孝通用算術(shù)解題。

第二問

假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉(xiāng)，乙縣四十三鄉(xiāng)，每鄉(xiāng)別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉(xiāng)人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？”。

對于這個建造觀象臺和臺道的廣度、高度、深度的計算，王孝通列出三個

形式的三次方程式，和一個形式的三次方程式

第三問

“假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升。每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗。古人負(fù)土二斗四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當(dāng)四，下山六當(dāng)五，水行一當(dāng)二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，并每人一日自穿、運、筑程功，及堤上、下高、廣各幾何？

王孝通解此題，建立了一個二次方程，兩個三次方程。

第一個三次方程：

第二個三次方程：

王孝通求得其解：31

第四問

“假令筑龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共筑。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少?！?/p>

王孝通 兩個三次方程。

解之得 x=18尺；

解之得 x=33尺；

第五問

“假令穿河，袤一裏二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負(fù)、筑，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，并漘上廣各多少？”

解二次方程，三次方程各一。

三次方程：得方倉上底邊x=3尺，下底邊=9尺，高=12尺。

第六問

“假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負(fù)、筑，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？”

解兩個三次方程。

第七問

“假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二斗。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？”

為求余粟深度，王孝通的辦法是建立又一個三次方程：

第八問

“假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當(dāng)積三十六尺，限八日役。自穿筑，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？”是關(guān)于建筑觀象臺、河堤、糧窖等工程中的土方問題。

解一個三次方程：

得 乙縣工程高x=72尺;甲縣工程高=120-72=48尺、上廣=36尺、袤=66尺。

第九問

“假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗。問：殘粟去口、上下周、高各多少？”

解兩個三次方程。

第十問

“假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？”

解一個三次方程。

第十一問

“假令有粟一萬六千三百四十八石八斗，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少於圓徑一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？”

解一個三次方程。

第十二問

“假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、高、深各多少？”

解一個三次方程。

第十三問

“假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面於圓徑等，兩深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問：方、徑、深各多少？”

解一個三次方程。

第十四問

“假令有粟二萬六千三百四十二石四斗，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）。問上下方、深數(shù)各多少？”

解一個三次方程。

第十五問

“假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。問：三事各多少？”

第十六問

“假令相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？”

解一個三次方程。

第十七問

“假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？”

解一個三次方程。“答曰：九十二五分之二?！?/p>

“術(shù)曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數(shù)自乘，倍之，為方法。又置多數(shù)，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差為方，令多再自乘半之為隅，橫虛二立廉……倍之為從隅……多為上廣即二多……法故五之二而一）?！?/p>

第十八問

“假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？”

解一個三次方程。

第十九問

“假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？”

解一個雙二次方程。

第二十問

“假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？”

作者介紹

生平

唐代立于學(xué)官的十部算經(jīng)中，王孝通《緝古算經(jīng)》是唯一的一部由唐代學(xué)者撰寫的。王孝通主要活動于六世紀(jì)末和七世紀(jì)初。他出身于平民，少年時期便開始潛心鉆研數(shù)學(xué)，隋朝時以歷算入仕，入唐后被留用，唐朝初年做過算學(xué)博士（亦稱算歷博士），后升任通直郎、太史丞。畢生從事數(shù)學(xué)和天文工作。

唐武德六年（623），因行用的傅仁均《戊寅元歷》推算日月食與實際天象不合，與吏部郎中祖孝孫受命研究傅仁均歷存在的問題，武德九年（626）又與大理卿崔善為奉詔?？备等示鶜v，駁正術(shù)錯三十余處，并付太史施行。

成就

王孝通所著《緝古算術(shù)》，被用作國子監(jiān)算學(xué)館數(shù)學(xué)教材，奉為數(shù)學(xué)經(jīng)典，故后人稱為《緝古算經(jīng)》。全書一卷（新、舊《唐書》稱四卷，但由于一卷的題數(shù)與王孝通自述相符，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十題。

其他信息

版本

《緝古算經(jīng)》在唐代就有抄本，宋元豐七年（1084年）有秘書監(jiān)趙彥若等校定刊本，但到明代，刊本幾乎遺失，僅存章丘李開先所藏一部南宋刊本。清代毛晉獲得《緝古算經(jīng)》，影抄傳世?！毒児潘憬?jīng)》影抄本后歸常熟毛扆汲古閣收藏；清乾隆年間孔繼涵得毛扆汲古閣所藏宋元豐七年《緝古算經(jīng)》影抄本和其他算書六種，連同戴東原從永樂大典中編輯出的《海島算經(jīng)》等書合為十部，一同刻印刊行；孔繼涵所刻《緝古算經(jīng)》，世稱為微波謝本。同時《四庫全書》又收入吏部侍郎王杰所藏《緝古算經(jīng)》的毛晉影抄本。微波謝本后佚，影抄本現(xiàn)存北京故宮博物院。

清代中期，研究《緝古算經(jīng)》之風(fēng)盛行，先后有李潢《緝古算經(jīng)考注》二卷，張敦仁《緝古算經(jīng)細(xì)草》一卷，陳杰《緝古算經(jīng)細(xì)草》一卷，《緝古算經(jīng)注》二卷，《緝古算經(jīng)音義》一卷，及按微波謝本抄錄的《緝古算經(jīng)經(jīng)文》一卷；揭廷鏘《緝古算經(jīng)考注圖草》一卷。

1963年中華書局出版錢寶琮校點多《算經(jīng)十書》，其中包括《緝古算經(jīng)》。

1998你 郭書春 校點《緝古算經(jīng)》《算經(jīng)十書》卷2 遼寧教育出版社。