基爾霍夫定律(Kirchhoff laws)是電路中電壓和電流所遵循的基本規(guī)律，是分析和計算較為復雜電路的基礎，1845年由德國物理學家G.R.基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）提出?；鶢柣舴颍娐罚┒砂ɑ鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）。

基爾霍夫（電路）定律既可以用于直流電路的分析，也可以用于交流電路的分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路的分析。

發(fā)現(xiàn)背景

基爾霍夫定律是求解復雜電路的電學基本定律。從19世紀40年代，由于電氣技術發(fā)展的十分迅速，電路變得愈來愈復雜。某些電路呈現(xiàn)出網(wǎng)絡形狀，并且網(wǎng)絡中還存在一些由3條或3條以上支路形成的交點(節(jié)點)。這種復雜電路不是串、并聯(lián)電路的公式所能解決的。

剛從德國哥尼斯堡大學畢業(yè)，年僅21歲的基爾霍夫在他的第1篇論文中提出了適用于這種網(wǎng)絡狀電路計算的兩個定律，即著名的基爾霍夫定律。該定律能夠迅速地求解任何復雜電路，從而成功地解決了這個阻礙電氣技術發(fā)展的難題。

由于似穩(wěn)電流(低頻交流電)具有的電磁波長遠大于電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應用范圍亦可擴展到交流電路之中。

基本概念

1、支路：

（1）每個元件就是一條支路。

（2）串聯(lián)的元件我們視它為一條支路。

（3）在一條支路中電流處處相等。

2、節(jié)點：

（1）支路與支路的連接點。

（2）兩條以上的支路的連接點。

（3）廣義節(jié)點（任意閉合面）。

3、回路：

（1）閉合的支路。

（2）閉合節(jié)點的集合。

4、網(wǎng)孔：

（1）其內部不包含任何支路的回路。

（2）網(wǎng)孔一定是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。

基爾霍夫第一定律（KCL）

定義

基爾霍夫第一定律又稱基爾霍夫電流定律，簡記為KCL，是電流的連續(xù)性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是電荷守恒公理?；鶢柣舴螂娏鞫墒谴_定電路中任意節(jié)點處各支路電流之間關系的定律，因此又稱為節(jié)點電流定律?；鶢柣舴螂娏鞫杀砻鳎?/p>

所有進入某節(jié)點的電流的總和等于所有離開這節(jié)點的電流的總和。

或者描述為：

假設進入某節(jié)點的電流為正值，離開這節(jié)點的電流為負值，則所有涉及這節(jié)點的電流的代數(shù)和等于零。

以方程表達，對于電路的任意節(jié)點滿足：

其中，是第k個進入或離開這節(jié)點的電流，是流過與這節(jié)點相連接的第k個支路的電流，可以是實數(shù)或復數(shù)。

應用方法

在列寫節(jié)點電流方程時，各電流變量前的正、負號取決于各電流的參考方向對該節(jié)點的關系（是“流入”還是“流出”）；而各電流值的正、負則反映了該電流的實際方向與參考方向的關系（是相同還是相反）。

通常規(guī)定，對參考方向指向（流入）節(jié)點的電流取正號，而對參考方向背離（流出）節(jié)點的電流取負號。

KCL定律不僅適用于電路中的節(jié)點，還可以推廣應用于電路中的任一不包含電源的假設的封閉面。即在任一瞬間，通過電路中任一不包含電源的假設封閉面的電流代數(shù)和為零。

KCL的推廣所示為某電路中的一部分，選擇封閉面虛線所示，在所選定的參考方向下有：

推導

由于累積的電荷（單位為庫侖）是電流（單位為安培）與時間（單位為秒）的乘積，從電荷守恒定律可以推導出這條定律。其實質是穩(wěn)恒電流的連續(xù)性方程，即根據(jù)電荷守恒定律，流向節(jié)點的電流之和等于流出節(jié)點的電流之和。

思考電路的某節(jié)點，跟這節(jié)點相連接有個支路。假設進入這節(jié)點的電流為正值，離開這節(jié)點的電流為負值，則經(jīng)過這節(jié)點的總電流等于流過支路的電流的代數(shù)和：

將這方程積分于時間，可以得到累積于這節(jié)點的電荷的方程：

其中，是累積于這節(jié)點的總電荷，是流過支路k的電荷，t是檢驗時間，t'是積分時間變量。

假設，q>0則正電荷會累積于節(jié)點；否則負電荷會累積于節(jié)點。根據(jù)電荷守恒定律，q是個常數(shù)，不能夠隨著時間演進而改變。由于這節(jié)點是個導體，不能儲存任何電荷。所以，q=0、i=0，基爾霍夫電流定律成立：

基爾霍夫第二定律（KVL）

定義

基爾霍夫第二定律又稱基爾霍夫電壓定律，簡記為KVL，是電場為位場時電位的單值性在集總參數(shù)電路上的體現(xiàn)，其物理背景是能量守恒。基爾霍夫電壓定律是確定電路中任意回路內各電壓之間關系的定律，因此又稱為回路電壓定律。

基爾霍夫電壓定律表明：

沿著閉合回路所有元件兩端的電勢差（電壓）的代數(shù)和等于零。

或者描述為：

沿著閉合回路的所有電動勢的代數(shù)和等于所有電壓降的代數(shù)和。

以方程表達，對于電路的任意閉合回路，

其中，m 是這閉合回路的元件數(shù)目， vk是元件兩端的電壓，可以是實數(shù)或復數(shù)。

基爾霍夫電壓定律不僅應用于閉合回路，也可以把它推廣應用于回路的部分電路。

應用方法

KVL定律是描述電路中組成任一回路上各支路（或各元件）電壓之間的約束關系，沿選定的回路方向繞行所經(jīng)過的電路電位的升高之和等于電路電位的下降之和。

應用該方程時，應先在回路中選定一個繞行方向作為參考，則電動勢與電流的正負號就可規(guī)定如下：電動勢的方向(由負極指向正極)與繞行方向一致時取正號，反之取負號;同樣，電流的方向與繞行方向一致時取正號，反之取負號。例如，用此規(guī)定可將回路(如圖2)的基爾霍夫電壓方程寫成：

-E1 E2=-I1R1 I2R2 I3R3-I4R4

每個閉合回路均可列出一個方程。如果某回路至少有一個支路未被其他方程用過，則稱此回路為獨立回路。對于存在M個獨立回路的電路，可以列出M個獨立的回路電壓方程，它們組成的方程組稱為基爾霍夫第二方程組。

適用范圍

基爾霍夫定律建立在電荷守恒定律、歐姆定律及電壓環(huán)路定理的基礎之上，在穩(wěn)恒電流條件下嚴格成立。當基爾霍夫第一、第二方程組聯(lián)合使用時，可正確迅速地計算出電路中各支路的電流值。由于似穩(wěn)電流(低頻交流電)具有的電磁波長遠大于電路的尺度，所以它在電路中每一瞬間的電流與電壓均能在足夠好的程度上滿足基爾霍夫定律。因此，基爾霍夫定律的應用范圍亦可擴展到交流電路之中。

它除了可以用于直流電路的分析，和用于似穩(wěn)電路的分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路的分析。運用基爾霍夫定律進行電路分析時，僅與電路的連接方式有關，而與構成該電路的元器件具有什么樣的性質無關。

但用于交流電路的分析是，即對通過含時電流的電路進行分析時，由于通過閉合回路的磁通量是時間的函數(shù)，根據(jù)法拉第電磁感應定律，會有電動勢E出現(xiàn)于閉合回路。所以，電場沿著閉合回路的線積分不等于零。此時回路方程應寫作：

Σvk = E = - ΔΦ/Δt (磁場正方向與回路正方向相同時)

這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對于含有電感器的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由于含時電流的作用，電路的每一個電感器都會產(chǎn)生對應的電動勢Ek。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。